🗺️ 五大核心思維模式
1. 無套利 → 風險中性定價：一切衍生品的定價基石
在不允許無風險套利的市場中，任何衍生性商品的公平價值可以透過「風險中性測度（$\mathbb{Q}$-measure）」計算：將標的資產的真實漂移率 $\mu$ 替換為無風險利率 r，再對到期支付折現。這個替換之所以合法，源自無套利原則與 Radon-Nikodym 定理（$\mathbb{P}$-measure → $\mathbb{Q}$-measure 的測度轉換）。核心公式：dS = rS dt + $\sigma$S dZ（Q-world）。理解這一點，期貨定價、BSM、蒙地卡羅模擬都只是同一框架的不同應用。
2. 計價單位（Numeraire）決定世界觀
你用什麼單位衡量財富，就活在什麼宇宙。同一資產，美元持有者與台幣持有者的報酬感知可以完全相反（Siegel's Paradox）。在衍生品定價中，更換計價單位（Numeraire change）等同於更換測度，是外匯選擇權（Quanto）、利率衍生品等定價的核心手段。每次看到「換測度」，問自己：誰是新的計價貨幣？
3. Greeks 是風險的分解器，Delta-neutral 只是起點
選擇權的五大希臘字母（Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho）是把期權價值對各個風險因子的偏微分。Delta 對沖（Delta-neutral）消除方向性風險，但仍暴露於 Gamma（斜率變化）與 Vega（波動率）風險。做市商出售選擇權後即刻 Delta-neutral，其真實暴險是 short Gamma：標的劇烈波動時需「追高殺低」動態對沖，成本就是 Gamma 損耗。Long Gamma / Long Vega（如 straddle）則押注波動率擴大。
4. 隱含波動率是市場的情緒溫度計，波動率微笑是 BSM 的破口
BSM 假設波動率固定，但用市場期權價格反推（Call price 已知 → 解 $\sigma$）得到的隱含波動率（IV）會因履約價不同而出現「微笑/偏斜」。這說明真實市場並非對數常態分佈。實務應用：當 IV > 歷史波動率（HV），期權可能被高估；Straddle 策略直接交易「波動率」本身。台灣權證市場的報價本質上是在報 IV。
5. 馬丁格爾（Martingale）= 公平遊戲，布朗運動是其連續時間實現
馬丁格爾定義：$\mathbb{E}[X_{n+1} \mid ext{歷史}] = X_n$，即對未來的最佳預測就是當前值。在 $\mathbb{Q}$-measure 下，所有資產折現後的價格過程都是馬丁格爾。幾何布朗運動（GBM）是連續時間的馬丁格爾，Itô's Lemma 讓我們能對 GBM 的函數（如 ln S）做微積分推導 BSM 方程。馬可夫性（無記憶性）是效率市場假說的數學表述：歷史路徑對預測未來無額外資訊。
⚡ 學術爭議邊界
爭議 1：BSM 恆定波動率假設 vs. 真實波動率聚集（Volatility Clustering）
BSM 假設波動率 $\sigma$ 為常數，但實際市場中波動率呈現時序相關、聚集現象（大波動之後還是大波動）。ARCH/GARCH 模型雖然捕捉到這一特性，但帶來新問題：GARCH 參數估計高度不穩定，且在壓力事件（如 2008 年金融危機）中均值回歸假設也會失效。更深的爭議：到底需要多複雜的波動率模型？業界仍廣泛使用「錯的」BSM 加上 IV 曲面插值，因為模型的「可解釋性」與「交易便利性」本身就是價值。
爭議 2：風險中性定價的「測度轉換」到底在說什麼：直觀 vs. 嚴格數學的鴻溝
課程強調 Radon-Nikodym 定理讓我們可以從 $\mathbb{P}$-measure 轉換到 $\mathbb{Q}$-measure，但實務中「為何可以把 $\mu$ 換成 r 就定價」仍讓學生困惑。爭議核心：這個轉換在數學上嚴格成立（需 Girsanov 定理 + 等價鞅測度唯一性），但直觀上要求「市場完備（complete market）」──即任何 payoff 都可以被無限細分的動態對沖複製。現實市場有交易成本、不可對沖風險（跳躍、流動性危機），理論保證完全崩解。學術與實務間存在根本性的不完備市場問題，目前沒有被普遍接受的解決方案。
爭議 3：長尾風險與正態分佈框架的根本局限：BSM → 信用衍生品的框架跳躍
BSM 基於對數常態分佈（連續擴散），無法處理「跳躍」事件（違約、閃崩）。信用衍生品（CDS、CDO）需要改用泊松過程（Poisson Process）建模違約事件。2008 年金融危機暴露了以常態分佈建構的 CDO 相關係數模型（Gaussian Copula）的致命缺陷。未解難題：如何統一「連續擴散 + 跳躍」的混合模型？跳躍強度本身也是隨機的（隨機跳躍強度），參數估計因歷史數據不足而高度不確定，極端事件本質上無法被「模型化」，只能被承受。
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考點：希臘字母的定義與實際應用，並結合 Delta 中性避險進行基本計算。
(A) Greeks 定義與解釋
| Greek | 定義與數學式 | 白話解釋與舉例 |
|---|---|---|
| Delta ($\Delta$) | $\dfrac{\partial C}{\partial S}$ | 標的資產變動 1 元時，選擇權價格的變動量。例：Delta=0.5，股票漲 1 元，選擇權漲 0.5 元。 |
| Gamma ($\Gamma$) | $\dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ 或 $\dfrac{\partial \Delta}{\partial S}$ | 標的資產變動 1 元時，Delta 的變動量。代表避險的「曲率風險」。ATM 且臨近到期時最大。 |
| Vega ($\nu$) | $\dfrac{\partial C}{\partial \sigma}$ | 隱含波動率變動 1% 時，選擇權價格的變動量。長天期選擇權 Vega 較大。 |
| Theta ($\Theta$) | $\dfrac{\partial C}{\partial t}$ | 時間每過一天，選擇權價值的衰減量。通常為負（時間是買方的敵人，賣方的朋友）。 |
| Rho ($\rho$) | $\dfrac{\partial C}{\partial r}$ | 無風險利率變動 1% 時，選擇權價格的變動量。 |
(B) Delta Hedge 計算題指引
情境：若身為造市商賣出了 10,000 單位的 ATM Call（Delta = 0.5），此部位的 Delta 為 $-10,000 \text{ x } 0.5 = -5,000$。為了達到 Delta Neutral，必須買入 5,000 股現貨。
後續：隔天若股價上漲，Call 的 Delta 會增加（如變為 0.6），做市商的空頭 Call 部位 Delta 變為 -6,000，此時需再買入 1,000 股現貨（高買低賣，這就是 Short Gamma 的成本）。
考點：連結無套利原則、風險中性測度與鞅（Martingale），並理解選擇權定價的核心邏輯。
(A) FTAP 的兩大定理
- 第一基本定理（First FTAP）：市場無套利 (No Arbitrage) $\iff$ 至少存在一個等價鞅測度 (Equivalent Martingale Measure, $\mathbb{Q}$)。這保證了風險中性定價的合法性。
- 第二基本定理（Second FTAP）：市場完全 (Complete Market) $\iff$ 等價鞅測度是「唯一」的。這代表所有的衍生品都可以被完美複製 (Replication)。
(B) Risk-Neutral 與 Martingale
解釋：在風險中性測度 $\mathbb{Q}$ 下，所有資產的預期報酬率皆為無風險利率 $r$。折現後的資產價格過程是一個鞅（Martingale）。這意味著「未來的預期折現值等於今天的價值」，這就是衍生性金融商品定價（包含 BSM 與 Binomial Tree）的共通核心方程式。
考點：GARCH 與 EWMA 的差異比較，以及隱含波動率曲面的市場現象解釋。
(A) EWMA vs GARCH(1,1)
| 特徵 | EWMA (RiskMetrics) | GARCH(1,1) |
|---|---|---|
| 公式 | $\sigma_n^2 = \lambda\,\sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda)\,u_{n-1}^2$ | $\sigma_n^2 = \omega + \alpha\,u_{n-1}^2 + \beta\,\sigma_{n-1}^2$ |
| 均值回歸 | 無 (不會收斂到長期水準) | 有 (收斂到 $V_L = \dfrac{\omega}{1-\alpha-\beta}$) |
| 參數數量 | 1 個 ($\lambda$，常設為 0.94) | 3 個 ($\omega, \alpha, \beta$)，需用 MLE 估計 |
| 持續性 | 完全記憶 ($\lambda + (1-\lambda) = 1$) | $\alpha + \beta < 1$ (波動率衝擊會衰減) |
(B) Volatility Surface 概念與 Pattern
- 定義：由 履約價 (Moneyness) 與 到期時間 (Time to Maturity) 兩個維度所建構出的隱含波動率 (IV) 3D 曲面。它顯示了 BSM 模型中「波動率為常數」假設的破局。
- 股票市場 (Volatility Skew)：通常呈現「左偏斜」。低履約價 (OTM Put) 的 IV 顯著高於高履約價 (OTM Call)。這反映了投資人對崩盤的恐懼（買 OTM Put 避險的需求大）。
- 外匯市場 (Volatility Smile)：通常呈現「U 型微笑」。因為外匯的漲跌風險對稱，兩端的 OTM 選擇權需求皆高。
考點：綜合課程作業中的核心實作，驗證對整體金融工程概念的實作認知。
- 選擇權定價 (BSM vs Binomial Tree)：BSM 提供連續時間的解析解，而二元樹提供離散時間的數值解。當期數 $N \to \infty$ 時，二元樹定價會收斂至 BSM 價格。二元樹特別適用於「美式選擇權」定價（因為可以隨時檢查提早履約的價值）。
- GARCH 參數估計：作業中常要求使用 Maximum Likelihood Estimation (MLE) 來尋找最適合歷史報酬率數據的 $\omega, \alpha, \beta$。重點在於確保 $\alpha + \beta < 1$ 以維持系統穩定（具備均值回歸特性）。
- 信用衍生品：Hazard Rate (違約強度 $\lambda$) 與存活機率 $S(t) = e^{-\lambda t}$ 的關係。CDS Spread 可約略估算為 $\lambda \times (1 - R)$。
考點：蒙地卡羅模擬股價路徑的視覺特徵與背後原因（波動率拖累）。
- 圖形特徵：當模擬數萬條股價路徑時，會發現路徑的中位數（或是密集區）向下偏斜，而少數路徑向上飆升極高。整體分佈為「對數常態分佈 (Lognormal Distribution)」，具有右偏肥尾。
- 為什麼長這樣（Volatility Drag）：因為 Ito's Lemma 的修正項 $-\dfrac{\sigma^2}{2}$ 造成了「波動率拖累」。幾何平均成長率會小於算術平均成長率。因此大多數的路徑最終價格會低於算術期望值 $S_0 e^{rT}$，這正是為什麼圖形中心線看起來是「往下垂」的。
考點：違約相關性 ($\rho$) 的變動如何不對稱地影響 CDO 的 Equity 與 Senior 階層。
- Equity Tranche (最底層，承受首波損失)：當 $\rho$ 增加，代表企業「要死一起死，要活一起活」。這對 Equity 是好事（價值上升 / 風險下降）。因為原本各別違約很容易吃掉 Equity，現在大家綁在一起，全活的機率增加了，Equity 反而能保全。
- Senior Tranche (最頂層，最安全)：當 $\rho$ 增加，對 Senior 是壞事（價值下降 / 風險上升）。Senior 原本只怕「極端多數違約」，相關性變大導致這種「系統性集體違約」的尾部風險 (Tail Risk) 大幅增加，Senior 被擊穿的機率變高。
- 2008 金融危機教訓：當時的模型（如 Gaussian Copula）嚴重低估了房貸違約的相關性 $\rho$，導致 Senior Tranche 獲得 AAA 評級。當系統性風險爆發、相關性飆升時，AAA 層級也遭遇毀滅性損失。
🎯 期末考抓題預測 v2
⚠️ 更新日期： 2026-06-08 v2 | 考試日期： 2026-06-10 (Week 16)
新增提示：Binomial Tree、Brownian Motion + Ito's Lemma、Option Strategy、GARCH vs EWMA、Credit Risk
📋 考試結構
4大題 × 20% + 2小題 × 10% = 100%
提示：#2 計算題 + #7 Greeks + Option Strategy（新增）
A. Greeks 定義公式
| Greek | 定義 | Call 公式 | Put 公式 |
|---|---|---|---|
| Delta (價格敏感度) | $\dfrac{\partial C}{\partial S}$ | $N(d_1)$ | $N(d_1)-1$ |
| Gamma (Delta 變化率) | $\dfrac{\partial^2 C}{\partial S^2}$ | $\dfrac{N'(d_1)}{S\,\sigma\sqrt{T}}$ | 同 Call |
| Theta (時間價值衰減) | $\dfrac{\partial C}{\partial t}$ | 通常 $<0$ | 通常 $<0$ |
| Vega (波動率敏感度) | $\dfrac{\partial C}{\partial \sigma}$ | $S_0\sqrt{T}\,N'(d_1)$ | 同 Call |
| Rho (利率敏感度) | $\dfrac{\partial C}{\partial r}$ | $KT e^{-rT}N(d_2)$ | $-KT e^{-rT}N(-d_2)$ |
B. Delta Hedge 計算
- 給定 $S=100,\ K=100,\ r=5\%,\ \sigma=20\%,\ T=1$
- 計算 $d_1 \Rightarrow N(d_1) = \Delta$
- 賣出 1000 張 Call（$\Delta=0.4$）→ 買入 400 股對沖
- 次日 $S$ 漲 → $\Delta$ 改變 → 動態調整（rebalancing）
- Gamma 中性：需用另一種 option 消除 $\Gamma$（股票 $\Gamma=0$）
BSM PDE（Black-Scholes-Merton 偏微分方程）：
C. Option Strategy
| 策略 | 組合 | 市場觀點 | Payoff 形狀 |
|---|---|---|---|
| Covered Call (備兌買權) | Long Stock + Short Call | 輕微看漲 | 上有頂，下虧損 |
| Bull Spread (牛市價差) | Long 低 $K$ Call + Short 高 $K$ Call | 看漲 | 梯形（上有頂） |
| Bear Spread (熊市價差) | Long 高 $K$ Put + Short 低 $K$ Put | 看跌 | 梯形（下有底） |
| Straddle (跨式組合) | Long ATM Call + Long ATM Put | 做多波動率 | V 形 |
| Strangle (勒式組合) | Long OTM Call + Long OTM Put | 做多波動率（便宜版） | 寬 V 形 |
考點：Straddle vs Strangle 差異；Bull Spread 最大獲利 / 損失計算
📈 經典期權策略到期損益形狀
互動式 Payoff 圖表，包含 Covered Call, Bull/Bear Spread, Straddle, Strangle
📊 開啟 5 種 Option Strategy 互動圖表 ↗提示：#5 models 異同 + #8 surface + GARCH vs EWMA（直接點名）
A. EWMA（指數加權移動平均，RiskMetrics）
- $\lambda = 0.94$（RiskMetrics 標準）
- 近期觀測值權重高
- 無長期均值回歸（$\gamma=0$）
- 半衰期：$t_{1/2} = \dfrac{\ln 0.5}{\ln\lambda} = 13.5$ 天（$\lambda=0.94$）
B. GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異方差模型）
或：
- $\gamma + \alpha + \beta = 1$
- 長期方差：$V_L = \dfrac{\omega}{1-\alpha-\beta}$
- EWMA 是 GARCH 特例（$\gamma=0$，$\alpha=1-\lambda$，$\beta=\lambda$）
C. 比較表（必背）
| 特性 | EWMA | GARCH(1,1)（廣義自回歸條件異方差模型） |
|---|---|---|
| 均值回歸 | 無 | 有（回到 $V_L$） |
| 參數數量 | 1（$\lambda$） | 3（$\omega,\,\alpha,\,\beta$） |
| 長期方差 | 不存在 | $V_L$ |
| 波動率持續性 | $\alpha+\beta=1$ | $\alpha+\beta<1$ |
| 適用 | 短期 VaR | 期權定價、精確建模 |
D. Volatility Surface
- X 軸 = Strike，Y 軸 = 到期日，Z 軸 = 隱含波動率 IV
- BSM 假設 $\sigma$ 固定 → 市場呈現 smile / skew
市場 Pattern：
- 股票：Skew（左偏，低 $K$ 高 IV）= 崩盤保護需求 + leverage effect（槓桿效應）
- 外匯：Smile（U 型，兩端高 IV）= 雙向跳漲對稱
- 利率：相對平坦 = 均值回歸
Vol Model 全景：BSM（常數）→ GARCH/EWMA（時序）→ Local Vol（Dupire）→ Stochastic Vol（Heston）
🌐 跨資產市場 3D 隱含波動率曲面
包含股票 (Skew)、外匯 (Smile) 與利率 (Flat) 的 3D 動態圖表，可自由旋轉觀察
📈 開啟 3D Volatility Surface 動態圖表 ↗提示：#10 FTAP（基本資產定價定理，Fundamental Theorem of Asset Pricing） + Binomial Tree arbitrage/replication（新增）
A. Binomial Tree — Replication
複製組合：$\Delta$ 股 + $B$ 元無風險資產
- No-Arbitrage 必要條件：$d < e^{r\,\Delta t} < u$
- Option 價格 $= \Delta S + B$（複製成本）
B. Risk Neutral（風險中性） Pricing
風險中性機率：
C. FTAP（基本資產定價定理，Fundamental Theorem of Asset Pricing） 核心
No-Arbitrage $\Longleftrightarrow$ 存在等價風險中性測度 $\mathbb{Q}$，使折現資產是鞅
三個等價陳述：
1. No-Arbitrage：不存在以零成本創造正報酬
2. Risk Neutral（風險中性） $\mathbb{Q}$：所有資產期望報酬 $= r$
3. Martingale（鞅）：$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[e^{-rT}S_T \mid \mathcal{F}_t\right] = e^{-rt}S_t$
定價：
D. Girsanov / 換測度
Radon-Nikodym（測度變換密度）：
Martingale（鞅） 定義：$\mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$（公平賭局）
E. 延伸考題：FTAP 與遠期契約定價 (15%)
【題目敘述】
根據第一資產定價基本定理（First Fundamental Theorem of Asset Pricing, FTAP），在無套利的市場中，任何衍生性商品的當前價值 $V_0$，都可以表示為「風險中性測度（$\mathbb{Q}$-measure）」下的折現期望值：
$$V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{Payoff}_T]$$
假設市場無摩擦，連續無風險利率為 $r = 5\%$。目前某檔不發放股利的股票價格為 $S_0 = 100$ 元。
1. 第一題：利用 FTAP 推導 (5%)
- 遠期契約多頭部位在到期日 $T$ 的 Payoff 為：$S_T - F$
- 根據 FTAP，合約在 $t=0$ 的價值 $V_0$ 為該 Payoff 的風險中性折現期望值：$$V_0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T - F]$$
- 因為遠期契約簽約當下不須付費，初始價值 $V_0 = 0$。代入上式： $$0 = e^{-rT} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T - F] \implies 0 = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T] - F \implies F = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T]$$
- 在風險中性測度 $\mathbb{Q}$ 之下，所有資產的預期報酬率皆為無風險利率 $r$。因此股票在 $T$ 時刻的期望值為：$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T] = S_0 e^{rT}$$
- 結論：合理遠期價格 $F = S_0 e^{rT}$。
2. 第二題：計算數值 (5%)
- 已知 $S_0 = 100$, $r = 0.05$, $T = 1$。
- 代入推導出的公式：$$F = 100 \times e^{0.05 \times 1} = 100 \times 1.05127 \approx 105.13 \text{ 元}$$
3. 第三題：套利策略（Cash-and-Carry） (5%)
- 合理的遠期價格為 $105.13$ 元，但市場報價 $F_{market} = 108$ 元，市場報價高估（Forward 太貴），存在套利空間。應採取「買低賣高」的 Cash-and-Carry（買現貨、空期貨）策略。
- 今日 ($t=0$)：
- 以 5% 的無風險利率借入 100 元現金。
- 在現貨市場買入 1 股股票（花費 100 元）。
- 在遠期市場「放空（Short）」1 單位遠期契約，約定 1 年後以 108 元賣出股票。
- 今日淨現金流量 = 0
- 一年後 ($T=1$)：
- 履行遠期契約：交割手上的 1 股股票，獲得 108 元。
- 償還借款本息：支付 $100 \times e^{0.05} = 105.13$ 元。
- 無風險利潤：$108 - 105.13 = 2.87$ 元。
1. Payoff 期望值： 我知道定價就是算 $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\text{Payoff}]$。
2. 零和起點： 我知道 Forward 簽約當下價值為 $0$，所以是期望值等於零去反推出 $F$。
3. 世界觀轉換： 我知道在 $\mathbb{Q}$-measure 裡面，股票不管實際漲跌機率是多少，它的預期成長率就是 $r$。
提示：Brownian Motion + Ito's Lemma（直接點名）+ #3 模型概念
A. 布朗運動性質
1. $W_0 = 0$
2. 增量獨立：$W_t - W_s$ 獨立於 $W_s - W_0$（$t > s > 0$）
3. $W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\; t-s)$
4. 連續路徑，處處不可微
5. 關鍵：$\mathbb{E}[dW^2] = dt$（二次變分不為零）
B. GBM（幾何布朗運動，Geometric Brownian Motion）
C. Ito's Lemma
若 $G = G(S,\,t)$，$S$ 服從 GBM：
與傳統微積分的差異：多了 $\dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\dfrac{\partial^2 G}{\partial S^2}$ 這項（來自 $dW^2 = dt$）
D. 應用：$\ln S$ 服從常態分佈
令 $G = \ln S$：
代入 Ito：
Volatility Drag（波動率拖累） $= \dfrac{\sigma^2}{2}$（HW2 的核心！）
E. BSM PDE（Black-Scholes-Merton 偏微分方程） 推導（Delta-Hedge）
1. 組合：$\Pi = C - \Delta S$
2. 展開 $dC$（用 Ito）
3. 選 $\Delta = \dfrac{\partial C}{\partial S}$，消除 $dW$ 項
4. 無套利 $\Rightarrow$ $d\Pi = r\Pi\,dt$
5. 得：
F. BSM = 熱傳導方程（HW3）
令 $\tau = \dfrac{1}{2}\sigma^2(T-t)$，$\xi = \ln(S/K)$
BSM PDE（Black-Scholes-Merton 偏微分方程） 等價於標準熱方程：
提示：#4（直接點名）
圖形特徵：扇形（Fan Shape）+ 右偏
GBM 路徑：
扇形成因：
- $\mathrm{Var}[\ln S_T] = \sigma^2 T$（線性增長）
- 路徑寬度正比於 $\sqrt{T}$
右偏成因：
- $\ln S_T$ 常態 $\Rightarrow$ $S_T$ 對數常態（右偏）
中心線比直覺低：
- 中心 $= S_0\,e^{(r-\sigma^2/2)T}$，而非 $S_0\,e^{rT}$
- 差額 = Volatility Drag（波動率拖累）（HW2！）
MC 定價：模擬 $N$ 條路徑 $\to$ 計算 Payoff $\to$ 平均折現 $\to$ Feynman-Kac（費曼-卡茨定理） 定理
> 一句話答案：
> GBM 的 log-normal 性質使 $\ln S_T$ 方差 $\sigma^2 T$ 線性增長，路徑呈扇形右偏；
> 中心線因 Volatility Drag（波動率拖累） 低了 $\dfrac{\sigma^2}{2}$
提示：#6 CDO + Credit Risk hazard rate/survival/default（新增）
A. Hazard Rate 模型（必考公式）
Hazard Rate $\lambda$（違約強度）：條件違約率
Survival Probability（存活機率）：
Default Probability（違約機率）：
從 CDS Spread（信用違約交換利差） 估算：
- $s$ = CDS spread（年化）
- $R$ = recovery rate（回收率）（通常 0.4）
例題： $s=200\,\text{bps},\ R=40\%$
5 年存活率 $= e^{-0.0333\times5} = e^{-0.167} \approx 84.6\%$
B. CDO Gaussian Copula（擔保債務憑證高斯聯結函數）
（$M$ = 系統因子，$z_i$ = 個別因子）
$\rho$ 對各 Tranche 影響：| Tranche | 低 $\rho$ | 高 $\rho$ | 結論 |
|---|---|---|---|
| Equity Tranche（權益檔，0–3%） | 均勻違約 → 損失大 | 雙峰 → 全活情境多 → 損失小 | 高 $\rho$ 利好 Equity |
| Senior Tranche（優先檔，15%+） | 獨立違約到不了 → 安全 | 系統崩潰可波及 → 尾部風險 | 高 $\rho$ 傷害 Senior |
| Mezzanine Tranche（夾層檔） | 中等 | 視位置 | ambiguous |
違約分佈：低 $\rho$ → 鐘型；高 $\rho$ → 雙峰（全活 or 全死）
2008 危機：低 $\rho$ 假設 → Senior 被評 AAA → 危機時 $\rho$ 飆升 → 全部崩潰
| 題號 | 主題 | 配分 | 信心度 | 備注 |
|---|---|---|---|---|
| Q1 | Greeks + Delta Hedge + Option Strategy | 20% | ★★★★★ | strategy 新增 |
| Q2 | GARCH vs EWMA + Volatility Surface | 20% | ★★★★★ | GARCH/EWMA 直接點名 |
| Q3 | FTAP（基本資產定價定理，Fundamental Theorem of Asset Pricing） + Binomial（Arbitrage/Replication） | 20% | ★★★★★ | binomial 新增 |
| Q4 | Brownian Motion + Ito + BSM 推導 | 20% | ★★★★★ | BM/Ito 直接點名 |
| Q5 | Monte Carlo 圖形 | 10% | ★★★★★ | 不變 |
| Q6 | Hazard Rate/Survival/Default + CDO | 10% | ★★★★★ | credit risk 新增 |
考前最後看這些：
Delta 的計算：
💡 Call option 的 Delta 就是標準常態累積機率 $N(d_1)$，也就是股價動 1 塊，選擇權大概會跟著動多少。$d_1$ 裡面把股價、履約價、利率、波動率和時間全部包進去，考試看到 BSM 或 Greeks，這條先拿出來。
BSM PDE（Black-Scholes-Merton 偏微分方程）：
💡 選擇權價格的時間價值、Delta 影響、Gamma 影響，合起來要等於無風險利率要求的報酬。考 BSM 推導時，重點就是用 Delta hedge 把風險消掉，最後得到這條 PDE。
EWMA（指數加權移動平均）：
💡 今天的波動率估計，是昨天的波動率加上昨天新衝擊的加權平均。$\lambda$ 越大，越相信舊資料；但 EWMA 沒有長期平均，所以它不會自己拉回某個長期水準。
GARCH(1,1)：
💡 GARCH 不只看昨天的衝擊和昨天的波動率，還多了一個長期平均的力量。$V_L$ 就是長期變異數，所以 GARCH 有均值回歸，這是它跟 EWMA 最大的差別。
Ito's Lemma（伊藤引理）：
💡 如果股價 $S$ 是隨機跑的，那任何依賴 $S$ 和時間的函數 $G$ 也會跟著隨機跑。跟一般微積分不一樣的地方，是它會多出二階偏微分那項，因為 Brownian motion 的二次變分等於 $dt$（數學上記作 $dW^2 = dt$）。
Volatility Drag（波動率拖累）來源：
💡 股價取 $\ln$ 之後，漂移率（drift）不是原本的 $\mu$，而是會被扣掉 $\dfrac{\sigma^2}{2}$ 這個修正項。這就是波動率拖累，波動越大，log return 的中心線就被拉得越低。
Hazard Rate（信用風險）：
💡 信用風險裡，$\lambda$ 是違約強度（hazard rate）；存活機率記作 $S(t)$，違約機率記作 $Q(t)$。如果題目給 CDS spread 和 recovery rate，就用「$\lambda \approx \dfrac{s}{1-R}$」快速估算違約強度。
FTAP（基本資產定價定理）
💡 無套利世界裡，價格就是「風險中性機率下的期望 payoff，再折現回今天」。考到 no-arbitrage、risk-neutral、martingale，最後都可以接回這句話。
考試重點提醒：
- 股票 vol skew vs FX vol smile：股票通常是左偏 skew，因為市場怕大跌，低履約價 Put 需求高、隱含波動率高；FX 常看到 smile，因為匯率兩邊大動都有人避險，價外 Call 和價外 Put 都可能變貴。
- GARCH 有均值回歸，EWMA 沒有：考試如果問比較，直接講 GARCH 有長期變異數 $V_L$，所以波動率會往長期水準靠回去；EWMA 只是一直加權更新，沒有固定的長期目標。
- Binomial（二元樹）：replication + no-arbitrage → risk neutral：先用股票和債券複製 option payoff，再用無套利推出價格；風險中性機率不是現實機率，而是定價用的機率。
- Martingale（鞅）：數學上寫成 $\mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s$ — 這句就是「已知現在資訊後，未來的條件期望等於現在」，白話講就是公平賭局，沒有系統性套利空間。
- CDO 高相關性利好 Equity、傷害 Senior：相關性 $\rho$ 高時，違約會變成「要嘛大家都沒事、要嘛一起出事」。Equity tranche 在很多全活情境下比較舒服，但 Senior tranche 會害怕一起崩的尾部風險。
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